Математическая статистика

Джумабекова Бахитжан Жахмановна
Преподаватель специальных дисциплин
.
.
Цель и задачи практикума
       Для приобретения навыков сбора, обработки  количественного анализа различных статистических данных, основываясь на современном развитии теории и наблюдений, необходимо знание основных разделов   курса математической статистики, которая служит фундаментальной базой экономического образования. Практикум по математической статистикипредназначен для того, чтобы студенты могли  глубоко и эффективно овладеть  математическими формулами и методами и  применять их для исследования экономических и производственных процессов, вооружать студентов знаниями полезными при проведении экономического анализа прикладных задач.
Целью данного практикума является  закрепление теоретических знаний по основным разделам математической статистикии приобретения навыков   и умения самостоятельного решения различных статистических  задач экономики. Все материалы практикума направлены на то, чтобы обеспечить понимание сущности каждой процедуры  расчета статистической задачи и процесса ее  анализа. Практикум поможет студентам овладеть основными разделами математической статистики.
Практикум разделен на теоретическую часть.  семестровую работу,    решение типового примера;     варианты заданий.
Методическое пособие обладает следующими особенностями:
  • Методический практикум разработан для студентов, имеющих базовые навыки работы с компьютером;
  • Методический практикум может использоваться как руководство к решению более широкого класса задач;
  • Методический практикум ориентирован на решение задач с акцентом на практический опыт.
Практикум решает следующие задачи:
  • внушает студентам интерес и поощряет их к дальнейшему изучению эффективных методов решения статистических задач экономики;
  • приобрести практические навыки и умения добывать, обрабатывать, анализировать информацию;
В результате осуществления данных практических работ студент должен знать и уметь выполнять следующие задачи:
  • знать математические формулы;
  • применять математические методы для решения различных экономико-математических задач;
  • уметь выполнять расчет и анализ экономических задач.
  • уметь использовать полученные знания для принятия эффективных решений.
Введение по теоретическому курсу
Основные теоретические сведения даются в лекционном блоке. Практикум содержит глоссарий, вопросы для самоподготовки и практические задания, которые могут быть использованны в качестве раздаточного материала на занятиях.
Практикум строится на сочетании лекционных и практических занятий с групповыми и индивидуальными консультациями.
Контроль и оценка знаний студентов проводится на основе рейтинговой системы, включающей опрос, проверку выполнения текущего задания на практических занятиях и самостоятельной работы студентов, проведения контрольных работ по основным разделам математической статистики,коллоквиумов,  тестирования.
Для оценки степени усвоения студентами учебного материала в течении учебного семестра проводится аттестация знаний, в конце семестра проводится зачет.
Для описания и объяснения наблюдаемых процессов и явлений исследуются статистические данные, которые представляют собой количественные характеристики каких либо объектов. Они формируются под действием множества факторов, название из которых доступны внешнему контролю.
          Рассмотрим совокупность статистических данных, представляющих собой набор наблюдаемых значений одной или нескольких переменных, характеризующих изучаемое явление или объект.
          Под генеральной совокупностью подразумевается  все возможные наблюдения некоторого показателя (признака), все исходы случайного испытания или всю совокупность реализаций случайной величины  X(ω). Например, под генеральной совокупностью понимают данные о доходах жителей какой-либо страны,  результаты голосования населения по какому-либо вопросу и т. д.  Выборочной совокупностью или просто выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов, взятых из генеральной совокупности объемом  N. Выборка объема  n — это результат наблюдения случайной величины в вероятном эксперименте, который повторяется  n раз в одних и тех же условиях. Объемом совокупности называется число объектов этой совокупности.
Выборку называют репрезентативной (представительной), если она достаточно полно представляет изучаемые признаки и параметры генеральной совокупности.
       Для того, чтобы выборка была репрезентативной, необходимо обеспечить случайность отбора, с тем чтобы все объекты генеральной совокупности имели равные вероятности попасть в выборку.
Варианты и их частоты.
          Произведем из генеральной совокупности выборку объема n. Наблюдаемые значения случайной величины X: x1, x2,…xk называются вариантами.
Вариационным рядом называется последовательность вариант записанных в возрастающем порядке. Разложение статистических данных по не убыванию называется ранжированием статистических данных.
          Если наблюдаемые значения варианты xi повторяются, то число появлений значений xi называются частотами и обозначаются  ni, а их отношения к объему                                                                                                                        выборки — относительными частотами, т.е.                                      (1)
      Статистическим распределением случайной величины X называется перечень вариант xi и соответствующих им частот  ni или относительных частот  wi, при этом
,
                                            .                                             (2)     
Если  X- непрерывная случайная величина, то её статистическое распределение представляют в виде частичных интервалов длинной  h, для каждого частичного i-го интервала находят сумму частот вариант  ni или сумму относительных частот  wi.
Для характеристики вариационного ряда по аналогии с теорией вероятностей строится эмпирическая функция распределения.
Эмпирической (статистической) функцией распределения называется функция F*(x),определяющая для каждого значения x относительную частоту события      X < x:
   ,                                             (3)
где nx – число наблюдении, при которых наблюдались значения признака Х, меньших чем  х;
n — объем выборки.
     (4)
     Эмпирическая функция F*(x) обладает всеми свойствами теоретической (интегральной) функции распределения F(x). Из теоремы Бернулли следует, что при увеличении числа   n  наблюдений относительная частота события   X <x  приближается к вероятности этого события, и так как теоретическая функция F(x) определяет вероятность события   Х<х, а эмпирическая функция F*(x) определяет относительную частоту этого события, то при больших  n функция  F*(x) и  F(x) мало отличаются друг от друга, т.е.
                         (5)
     Таким образом, эмпирическая функция распределения  F*(x)  является оценкой теоретической функции распределения  F(x)  случайной величины Х.
Числовые характеристики статистического распределения.
     Для характеристики статистического распределения рассмотрим  ряд числовых величин, аналогичных ранее данных в теории вероятностей.
    Выборочным средним   называется среднее арифметическое всех значений xi выборочной совокупности:
                        (6)
или     ,
где wi – относительная частота.   
В случае интервального статистического ряда в качестве xi берут середины его интервалов, а среднее значение отклонений равно нулю:  
,
поэтому для характеристики рассеяния наблюдаемых значений Х вокруг среднего значения    введем выборочную дисперсию.
     Выборочной дисперсией  называется среднее арифметическое  квадратов отклонений значений выборки хi от выборочной средней :
 или         
                                                                                                 (7)
Для практических расчетов удобнее использовать формулу:
,                                                  (8)
где: ,  (для упрощения обозначения).
Для возврата к единицам измерения изучаемого признака Х возьмем корень квадратный из выборочной дисперсии, который называется выборочным средним квадратичным отклонением:
                                                     (9)
     Для практических расчетов используется величины:
                                  (10)
которая называется исправленной выборочной дисперсией, а величина S — исправленным средним квадратичным отклонением.
     Начальным эмпирическим моментом порядка k называется среднее арифметическое k — x степеней значений выборки:
     Центральным эмпирическим моментом порядка k называется среднее арифметическое k — x степеней отклонений значений выборки от выборочной средней :
     В частности,  ,  т.е. начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней;
,
т.е.  центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.
     Коэффициентом вариации вариационного ряда называется процентное отношение среднего квадратичного отклонения к выборочному среднему:
    Коэффициентом асимметрии эмпирического распределение называется число
и эксцессом вариационного ряда называется число:
        Кроме перечисленных числовых характеристик для вариационного ряда используются мода, методы и размах вариации.
     Размахом вариации называется число R равное разности между наибольшей и наименьшей вариантами:
     Модой Мо*  вариационного ряда называется варианта, которая имеет наибольшую частоту.
     Медианой Ме* вариационного ряда называется варианта, которая делит вариационный ряд на две равные части, если n=2k, то
; если n =2k+1, то
 
Задача. Анализируется выборка из 100 малых предприятий. Цель исследования – найти соотношения заемных и собственных средств (xi) на каждом i-м предприятии.
Литература.
  1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2001 г.
  2. Журнал «экономическая школа» т. 1. 1991.
  3. Колемаев В.А.. Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика .М.. ВШ, 1991.
  4. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. 1972. ВШ Москва.
  5. В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. 1979, М., ВШ.
  6. «Методические разработки по решению задач с экономическим содержанием в курсе     высшей         математики », Алма-Ата, РУМК, 1990.