Решение задач на формулы арифметическая и геометрическая прогрессии

Утегенова Гульсум Тургумбаевна
Учитель математики
.
.
Цели  урока:
 
Обучающая цель: —проверить знания учащихся по теме «Прогрессии», выработать умение теоретические знания подкреплять практическими приемами.
-систематизировать знания по изучаемой теме,
— применять теоретический материал при решении задач,
— формировать умение выбирать наиболее рациональные способы решения,
Развивающая цель:
— развивать логическое мышление,
— продолжить работу по развитию математической речи,
Воспитательная цель:
— формировать эстетические навыки при оформлении записей,
— формировать у учащихся самостоятельность мышления и интерес к изучению предмета.
Тип урока: урок закрепления и обобщения.
Оборудование: карточки с заданиями, тест.
План урока:
  • Вступительное слово учителя;
  • Проверка теоретических знаний;
  • Устная работа;
  • Решение задач по данной теме;
  • Межпредметная связь;
  • Домашнее задание
  • Вступительное слово учителя
     Изучена данная тема,
Пройдена теории схема,
Вы много новых формул узнали,
Задачи с прогрессией решали.
И вот в последний урок
Нас поведет
Красивый лозунг
“ПРОГРЕССИО — ВПЕРЕД”
 
  • Теоретический тур
Вопросы для  1-го учащегося
  1. Как вычислить разность арифметической прогрессии?
  2. Формула любого п-го члена арифметической прогрессии?
  3. Свойство арифметической прогрессии
  4. Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии
5.Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Вопросы для  2-го учащегося
  1. Знаменатель геометрической прогрессии
  2. Формула п-го члена геометрической прогрессии
  3. Свойство геометрической прогрессии
  4. Формула суммы всех n-членов
5.Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
  1. Устная работа
Задание 1.
Из предложенных последовательностей выберете ту, которая может являться арифметической прогрессией:
  1. 1, 2, 4, 9, 16, …
  2. 1, 11, 21, 31, …
  3. 2, 4, 8, 16, …
  4. 7, 7, 7, 7, …
Дополнительный вопрос: «А почему остальные не могут являться арифметическими прогрессиями?»
Ответ: 2 и 4.
 
Задание 2.
Перед Вами 4 числа:
  1. 25
  2. 30
  3. 22
  4. 35
Какое из этих чисел является шестым членом последовательности натуральных чисел, кратных пяти?
Дополнительный вопрос: «Назвать формулу n-го члена этой последовательности».
Ответ: 2.
Задание 3.
Вам предлагается 5 последовательностей. Под какими номерами записаны последовательности, являющиеся геометрическими прогрессиями?
  1. 1, 2, 4, 8, 16, …
  2. 1, 2, 3, 4, 5, …
  3. 4, -4, 4, -4, 4, …
  4. 7, 7, 7, 7, 7, …
  5. 3, 9, 27, 81, 243, …
Ответ: 1, 3, 4, 5.
Задание 4.
Дана геометрическая прогрессия: первый член равен 9, второй – 3. Найти знаменатель данной геометрической прогрессии.
Ответ: .
Задание 5.
В арифметической прогрессии     2,4; 2,6;… разность равна 
  1. 1. 3
  2. 2. 0,
  3. 3. 10
  4. 9
  5. 5. 5
 Ответ: 2
Задание 6.
В геометрической прогрессии    0,3; 0,9;… третий член равен
  1. 1. 3
  2. 2.
  3. 3. 10
  4. 9
  5. 5. 2,7
Ответ: 5
Учитель: Подводя итог этих заданий, я могу сказать, что в основном задания были на понятие арифметической и геометрической прогрессий и последовательностей, на нахождение разности и знаменателя, на вычисление n-го члена прогрессии.
Работа у доски.
 
Задача 1: Диаметры пяти шкивов, насаженных на общий вал, образуют арифметическую прогрессию. Найти диаметры шкивов, если сумма первого и третьего составляет 268 мм, а второго и четвертого — 316 мм.
 
Решение: По условию задачи а1 + а3 = 268; а2 + а4 = 316, найти требуется а1, а2, а3, а4, а5
Составим  и решим систему уравнений, используя формулу ап = а1+ d(п-1)
Подставив полученные значения в формулу ап = а1+ d(п-1), найдем остальные значения
а2 = 134, а3 = 158, а4 = 182, а5 = 206
 
Ответ: 110, 134, 158, 182, 206
 
Задача 2: Мощности пяти электромоторов составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Мощность первого 5 кВт, а третьего 9,8 кВт. Рассчитать мощности остальных электромоторов (ответ дать в кВт).
 
Решение: По условию задачи b1=5; b3=9,8; n = 5, значит нам необходимо найти b2, b4, b5
Для решения применим формулы: q= bn+1 : bn , bп= b1 ·qn­1,
По условию задачи
для того, чтобы найти остальные значения, найдем q
 q=b2 : b1 = 7:5 = 1,4
 b4 = 9,8 ·1,4 = 13,72
 b5 = 13,72 ·1,4 = 19,208
Ответ: 7; 13,72; 19,208
 
Задача 1:
За первый день было вспахано 100 га пашни, а в каждый последующий     день — на 3 га больше, чем в предыдущий. Найти, сколько гектаров пашни было вспахано за 19 дней.
 
 
 
Решение: По условию задачи а1 = 100, d = 3, n = 19, значит найти требуется S19.
По формуле:   
 
Ответ: 2413
 
 
Задача 2. Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?
 
Ответ: 10 минут 
Задания с места (2 учащийся решают)
 
1)Дано: ( аn) арифметическая прогрессия. а1 = 5, d = 3. Найти: а6 ; а10 ?
Решение: используя формулу
а n = а1 + d . (n -1)
а6  = а1  + d . (6-1) = а1  + 5d = 5 + 5 . 3 = 20
а10  = а1  + d . (10-1) = а1  + 9d = 5 + 9 . 3 = 32
Ответ: 20; 32.
2.Дано: ( bn) геометрическая прогрессия b1 = 5,q = 3. Найти: b3 ; b5 ?
Решение: используя формулу
bn= b1 qn-1
b3 = b1  . q2 = 5 . 32 = 5 . 9 = 4 5
b5 = b. q4 = 5 . 34 = 5 . 81 = 405
Ответ: 45;  405.
3) Дано: ( аn ) арифметическая прогрессия а4 = 11, d = 2.   Найти: а1 ?
Решение: используя формулу
аn = а1 + d . (n — 1)
а4 = а1 + d . (4 — 1);         а4 = а1 + 3d;
а1= а4 — 3d = 11 — 3 . 2 = 5
Ответ: 5.
4) Дано: ( bn) геометрическая прогрессия b4= 40, q = 2. Найти: b1 ?
Решение: используя формулу
bn = b1 qn-1
b4 =b1 q4-1 ;           b4 =b1 q3
b1 = b4 : q3 = 40 : 23  = 40 : 8 = 5
Ответ: 5.
Задания у доски (остается один ученик ) (оксана)
1) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии. А15=22,4
2) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии п), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число ап  =-30,8? п=22
3) В геометрической  прогрессии  b12 = 315  и   b14 =317.    Найдите b1=81
 
Задания с места (второй остается)
1)Дано: (а n ), а1 = – 3, а2 = 4.         Найти: а16 – ?      
2)Дано: (b n ) , b 12 = – 32, b 13 = – 16.   Найти: q – ?
3)Дано: (а n ), а21 = – 44, а22 = – 42.Найти: d?     
4)Дано: (b n ) , bп > 0, b2 = 4, b4 = 9.Найти: b3 – ?  
5)Дано: (а n ), а1 = 28, а21 = 4. Найти: d?   
6) Дано: (b n ) ,   q = 2.   Найти: b5 – ?           
7) Дано: (а n ), а7 = 16, а9 = 30.Найти: а8 –?     
Все решают с места с помощью презентации (для всех)
  1. Дано: (а n ) арифметическая прогрессия а1 = 5 d = 3  Найти: а6 ;   а10.
2.Дано: (b n ) геометрическая прогрессия b1= 5    q = 3  Найти: b3 ;   b5.
  1. Дано: (а n ) арифметическая прогрессия а4 = 11 d = 2 .Найти: а1 .
  2. Дано: (b n ) геометрическая прогрессия b4= 40 q = 2. Найти: b1.
  3. Дано: (а n ) арифметическая прогрессия а4=12,5; а6=17,5. Найти: а5  
6.Выписать 5 первых членов арифметической прогрессии: 3, 1, …
7.Дана арифметическая прогрессия (an), где a1 = 8; d = 4  Найти  a18
8.Арифметическая прогрессия (an), где a1 = 5; d = 4  Найти S18
9.Выписать первые 5 членов геометрической прогрессии:  4, 2,1,
Работа в парах:
I ряд.
  1. Найдите 17 член арифметической прогрессии: 19, 15, …
  2. Найдите сумму 17 первых членов этой арифметической прогрессии.
  3. Найдите 10 член геометрической прогрессии, если первый член ее равен -16, а знаменатель .
  4. Найдите сумму пяти первых членов этой геометрической прогрессии.
5, 6.  Вычислите второй и третий члены последовательности, если известно, что первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше предыдущего.
7, 8.  Вычислите второй и третий члены последовательности, если известно, что первый член равен 40, а каждый следующий равен предыдущему, деленному на 2.
9, 10. Между числами -2 и -128 вставьте 2 числа так, чтобы они образовали геометрическую прогрессию.
 
II ряд.
  1. Найдите 23 член арифметической прогрессии, если ее первый член равен -18, а разность равна 3.
  2. Найдите сумму первых 23 членов этой прогрессии.
  3. Дана геометрическая прогрессия, первый член которой равен 32, знаменатель равен . Найти шестой член этой прогрессии.
  4. Найти сумму 5 первых членов этой геометрической прогрессии.
5, 6.  Вычислите второй и третий члены последовательности, если известно, что первый член равен 5, а каждый следующий на 4 больше предыдущего.
7, 8.  Вычислите второй и третий члены последовательности, если известно, что первый член равен 100, а каждый следующий равен предыдущему, деленному на 2.
9, 10. Между числами 1 и 64 вставьте 2 числа так, чтобы они образовали геометрическую прогрессию.
Результаты выполнения заданий учащиеся заносят в соответствующие таблицы. В итоге должно получиться одно из известных высказываний Гаусса.
а е И к М т а м т а
2 4 8 9 1 3 6 5 7 10
-221 -31 10 -8 -45   16 13 20 -32
м а Т е м а т и к а
-45 -221   -31 13 16 20 10 -8 -32
ц а А и к н р у ц а
1 2 6 4 10 7 3 9 5 8
48 345 13 -62 16 50 -1 4 9 25
ц а Р и Ц а н а у к
48 345 -1 -62 9 13 50 25 4 16
Учитель:
Изрядно потрудившись, собрали вы слова.
И поиск их был мною оценен
Слова же следует теперь соединить,
В какую фразу можно их объединить?
«Математика – царица наук,
Арифметика – царица математики».
  1. Межпредметная связь;
1) Химия.  При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии.
2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам,  раскалывает их ещё на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
5) Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых  процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.
Учитель:
Проведение уроков-повторения является одним из этапов подготовки 9-классников к ВОУДу и к сдаче выпускного экзамена за курс основной школы
5.Домашнее задание  (Стр 109-111 тестовые задания «Проверь себя»)
7.Итог урока: (ошибки по заданиям, выставление оценки).
 
 Урок сегодня завершён,
 Но каждый должен знать:
 Познание, упорство, труд
 К прогрессу в жизни
                               приведут.
  1. Резервное задание.
№226 (со старой книги)
№162 (со старой книги)