Сабақ конспектілері «Аксиомы стереометрии и их следствия»

Туребекова Гульнар Хамитовна
Математика пәні мұғалімі
.
.
Сабақтың мақсаты
Цели занятия(с учетом возможностей формирования общих и профессиональных компетенций):
  а) образовательные: дать представление обучающимся:
        — об основных понятиях и аксиомах стереометрии;
        — их использовании при решении стандартных задач логического  характера;
        — об изображении точек, прямых и плоскостей на проекционном чертеже при различном их взаимном расположении в пространстве;
  б) развивающие: развитие навыков самостоятельной работы, пространственного мышления, логического мышления;
  в) воспитательная: воспитывать у обучающихся аккуратность, точность при выполнении заданий с использованием требований орфографического режима;
Пән аралық байланыс
Интеграционные связи (внутри- и междисциплинарные) черчение.
Көрнекілігі
Оснащение (материально – технические, дидактические средства, методические материалы)
Учебники, доска, наглядные чертежи, карточки.
Сабақтың негізгі кезеңдері
Основные этапы занятия:
  1. Ұйымдастыру кезеңі/Орг. Момент
  2. Теориялық сабақты бақылау/Контроль теоретических знаний студентов
  3. Жаңа сабақ/Объяснение нового материала (в соответствии с программой учебной дисциплины)
  4. Жаңа сабақты қортындылау//Закрепление изученного материала
  5. Сабақты бекіту/Подведение итогов занятия
  6. Үй тапсырмасын беру/Домашнее задание
Сабақтың барысы
Ход занятия
1. Ұйымдастыру кезеңі /Орг. момент (отмечается внешний вид студентов и кабинета, сообщается тема занятия, цели с проведением мотивации и актуализации темы занятия и т.д.)
Постановка целей и мотивация изучения темы.
Мы начинаем изучать один из самых важных разделов школьной геометрии – стереометрию. Зачем же она нужна?
 1) Именно она формирует необходимые пространственные представления, знакомит с разнообразием пространственных форм, позволяет правильно ориентироваться в окружающем нас мире.
   2) Стереометрия дает метод научного познания, способствует развитию логического мышления.
  3) Наконец, стереометрия и сама по себе очень интересна. Она имеет яркую  историю, связанную с именами знаменитых ученых: Пифагора, Евклида,   Архимеда, И. Кеплера, Р. Декарта, Л. Эйлера, Н. И. Лобачевского и др.
В стереометрии изучаются красивые математические объекты. Их формы находят широкое применение в искусстве, архитектуре, строительстве. «Не  случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида», — писал архитектор Корбюзье.
Актуализация опорных знаний.
  • Что такое геометрия?
  • Что такое планиметрия?
  • Какие фигуры планиметрии являются основными?
  • Что такое аксиома?
  • Какие аксиомы планиметрии вы знаете?
  • Назовите фигуры свойства, которых вы изучили в курсе планиметрии.
2. Теориялық сабақты бақылау /Контроль теоретических знаний студентов, с учетом  проверки внеурочной самостоятельной работы в соответствии  с рабочей программой (с использованием разнообразных форм контроля с указанием форм контроля, прилагается необходимый методический материал контролирующего характера); подведение итогов контроля теоретических знаний студентов (с  комментированием оценок и выводами).
  1. Жаңа сабақ/Объяснение нового материала (в соответствии с программой учебной дисциплины)
Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и   стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия-это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — объёмный, пространственный и «метрео» — измерять.
В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве каждой теоремы или при решении задач, располагались на плоскости (на листе бумаги или на доске и т. д.). Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью, и все точки, линии, углы, вообще геометрические фигуры лежали только на ней.
В курсе стереометрии нам предстоит рассматривать такие случаи, когда не все точки, линии и углы данной или данных фигур будут располагаться на одной плоскости. Будем считать, например, поверхность стола моделью плоскости Р; возьмем куб и поставим его одной гранью на стол. Легко видеть, что в данном кубе:
1) имеются точки, ребра, углы, лежащие на данной плоскости Р (на столе);
2) имеются точки, которые находятся вне плоскости Р;
3) имеются ребра, пересекающие плоскость Р;
4) имеются углы, находящиеся вне плоскости Р;
5) имеются шесть граней, являющиеся моделями шести различных плоскостей.
  1. Жаңа сабақ/Объяснение нового материала (в соответствии с программой учебной дисциплины)
Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и   стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия-это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — объёмный, пространственный и «метрео» — измерять.
В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве каждой теоремы или при решении задач, располагались на плоскости (на листе бумаги или на доске и т. д.). Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью, и все точки, линии, углы, вообще геометрические фигуры лежали только на ней.
В курсе стереометрии нам предстоит рассматривать такие случаи, когда не все точки, линии и углы данной или данных фигур будут располагаться на одной плоскости. Будем считать, например, поверхность стола моделью плоскости Р; возьмем куб и поставим его одной гранью на стол. Легко видеть, что в данном кубе:
1) имеются точки, ребра, углы, лежащие на данной плоскости Р (на столе);
2) имеются точки, которые находятся вне плоскости Р;
3) имеются ребра, пересекающие плоскость Р;
4) имеются углы, находящиеся вне плоскости Р;
5) имеются шесть граней, являющиеся моделями шести различных плоскостей.
Вывод. Плоскости могут вступать во взаимодействие с другими элементами фигур и друг с другом.
Отсюда вытекает необходимость изучать различные случаи комбинаций плоскостей между собой, комбинации плоскостей с линиями и другими геометрическими объектами. Это изучение является одной из задач курса стереометрии. В первую очередь надо выяснить основные свойства плоскостей по отношению друг к другу, к точкам и прямым.
Введем обозначения:
точки – АВС и т. д.
прямые – abс и т. д. или (АВСD и т. д.)
плоскости – α, β, γ и т. д.
   Простейшими и основными фигурами в пространстве является точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах  дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб (см. рис.1). Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром (см. рис.2). Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром (см. рис. З).                                                                   
                                
          рис.1                                      рис.2                                   рис.3
Курс стереометрии строится, так же как и курс планиметрии

1.Основные понятия геометрии

2. Определения

3. Аксиомы

4. Теоремы

Разбираем основные понятия, т. е. основные фигуры стереометрии. Важно, чтобы обучающиеся представляли себе эти понятия не только как абстрактные объекты, но и понимали, что они являются идеализацией объектов реального мира. Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т.е. таких размерами которых можно пренебречь. Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити или края стола, прямоугольной формы. Плоскость – это идеализированная поверхность зеркала, стола или ровной глади озера и т.д. Здесь же необходимо вспомнить с учащимися обозначения точек и прямых. Полезно специально записать эти обозначения в виде таблицы №1. В таблице можно также  указать и способы изображения плоскости, указав на «плюсы» и «минусы» того или иного изображения.
Таблица №1
изображение запись Чтение

А; В; С;…

точка А; точка В; точка С;…

а; в; с;  АВ;СD;…

прямая a; прямая в; прямая АВ; прямая СD;…

а) ;;;… плоскость; плоскость ; плоскость;
         
          Решаем  задачи.
  1. Изобразите прямую а, лежащую на ней точку А и не лежащую на ней точку В.
  2. Изобразите плоскость и две пересекающиеся прямые а и в, лежащие на ней.
  3. Изобразите плоскость , лежащие на ней точки А и В, а также точки С и D, расположенные по разные стороны от плоскости .
При решении задачи обучающимся продемонстрировать модель плоскости и двух точек, расположенных по разные стороны от нее.
  1. Изобразите плоскость и пересекающую ее прямую а.
  2. Изобразите плоскости и   пересекающиеся по прямой с.
После предварительной работы, проведенной при решении задач 1-5, обучающиеся подготовлены к восприятию аксиом. В процессе обсуждения аксиом заполняется таблица №2

3. Жаңа сабақ/Объяснение нового материала (в соответствии с программой учебной дисциплины)

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и   стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия-это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — объёмный, пространственный и «метрео» — измерять.

В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве каждой теоремы или при решении задач, располагались на плоскости (на листе бумаги или на доске и т. д.). Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью, и все точки, линии, углы, вообще геометрические фигуры лежали только на ней.

В курсе стереометрии нам предстоит рассматривать такие случаи, когда не все точки, линии и углы данной или данных фигур будут располагаться на одной плоскости. Будем считать, например, поверхность стола моделью плоскости Р; возьмем куб и поставим его одной гранью на стол. Легко видеть, что в данном кубе:

1) имеются точки, ребра, углы, лежащие на данной плоскости Р (на столе);

2) имеются точки, которые находятся вне плоскости Р;

3) имеются ребра, пересекающие плоскость Р;

4) имеются углы, находящиеся вне плоскости Р;

5) имеются шесть граней, являющиеся моделями шести различных плоскостей.

Вывод. Плоскости могут вступать во взаимодействие с другими элементами фигур и друг с другом.

Отсюда вытекает необходимость изучать различные случаи комбинаций плоскостей между собой, комбинации плоскостей с линиями и другими геометрическими объектами. Это изучение является одной из задач курса стереометрии. В первую очередь надо выяснить основные свойства плоскостей по отношению друг к другу, к точкам и прямым.

Введем обозначения:

точки – АВС и т. д.

прямые – abс и т. д. или (АВСD и т. д.)

плоскости – α, β, γ и т. д.

   Простейшими и основными фигурами в пространстве является точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах  дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб (см. рис.1). Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром (см. рис.2). Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром (см. рис. З).    

  рис.1                                      рис.2                                   рис.3

Курс стереометрии строится, так же как и курс планиметрии

1.Основные понятия геометрии

2. Определения

3. Аксиомы

4. Теоремы

Разбираем основные понятия, т. е. основные фигуры стереометрии. Важно, чтобы обучающиеся представляли себе эти понятия не только как абстрактные объекты, но и понимали, что они являются идеализацией объектов реального мира. Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т.е. таких размерами которых можно пренебречь. Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити или края стола, прямоугольной формы. Плоскость – это идеализированная поверхность зеркала, стола или ровной глади озера и т.д. Здесь же необходимо вспомнить с учащимися обозначения точек и прямых. Полезно специально записать эти обозначения в виде таблицы №1. В таблице можно также  указать и способы изображения плоскости, указав на «плюсы» и «минусы» того или иного изображения.

Таблица №1

изображение запись Чтение
А; В; С;… точка А; точка В; точка С;…
а; в; с;  АВ;СD;… прямая a; прямая в; прямая АВ; прямая СD;…
а) ;;;… плоскость; плоскость ; плоскость;

         

          Решаем  задачи.

1.  Изобразите прямую а, лежащую на ней точку А и не лежащую на ней точку В.

2.  Изобразите плоскость  и две пересекающиеся прямые а и в, лежащие на ней.

3.  Изобразите плоскость , лежащие на ней точки А и В, а также точки С и D, расположенные по разные стороны от плоскости .

При решении задачи обучающимся продемонстрировать модель плоскости и двух точек, расположенных по разные стороны от нее.

4.  Изобразите плоскость   и пересекающую ее прямую а.

5.  Изобразите плоскости  и   пересекающиеся по прямой с.

После предварительной работы, проведенной при решении задач 1-5, обучающиеся подготовлены к восприятию аксиом. В процессе обсуждения аксиом заполняется таблица №2

Таблица №2

аксиома формулировка Чертеж Запись
 

С1

Какова бы ни была плоскость существуют токи принадлежащие ей и не принадлежащие ей.

Вα,

Сα,

А α

 

С2

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой проходящей через эту точку.

 

 

 Если

Вα, Вβ, то

 α β=в, Вв

 

 

С3

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

ав=А,  то α единственная

Далее на уроке необходимо рассмотреть следствия из аксиом стереометрии. При этом заполняется таблица №4

Таблица №4

 

  Чертеж Формулировка

Следствие 1

 

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и при том только одну.

Следствие 2

 

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Следствие 3

 

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

 

При подведении итогов после введения аксиом и следствий из них следует с учащимися повторить все способы задания плоскости. Лучше всего это сделать с помощью плаката.

4. Жаңа сабақты қортындылау//Закрепление изученного материала (определение уровня усвоения изученного материала с использованием дидактических заданий контролирующего характера; можно проводить по ходу занятия или выделять отдельным этапом)

Работа с учебником. Решение задач. Работа по карточкам.
 Самостоятельная работа.

По рисунку ответьте на вопросы:
  1. Каким плоскостям принадлежит точка А?
  2. В каких плоскостях не лежит точка К?
  3. По какой прямой пересекаются плоскости ABD и BDC?
  4. Какую плоскость задают прямые AD и DC?
В конце занятия предложить материал занимательного характера, но связанного с развитием пространственного мышления.
Например: Сложите из шести палочек равной длины четыре равных треугольника.
5. Сабақты бекіту/Подведение итогов занятия (с  комментированием оценок и выводами о проделанной работе)

6. Үй тапсырмасын беру/Домашнее задание (разъяснение по выполнению заданий самостоятельной работы, предусмотренной программой учебной дисциплины )

Рефлексия. Д\З.
Выучить п.2.1, 2.2.
Сообщение: «Неевклидова геометрия».
Рефлексия:
Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами  своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).
Вам для этого помогут слова:
-Я узнал…
-Я почувствовал…
-Я увидел…
-Я сначала испугался, а потом…
-Я заметил, что …